REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR: Representación Gráfica

Representación Gráfica

Gráficamente, un vector se representa como una flecha ubicada en un eje de coordenadas. En esta flecha podemos identificar cada uno de los elementos que lo conforman y que estudiamos en el apartado anterior, además de algunos más.

Tienen un punto desde el que nace la flecha llamado origen o punto de aplicación.
De igual forma, tienen otro punto donde termina la flecha llamado extremo.
La recta sobre la que "descansan" los puntos de extremo y origen se denomina dirección orecta soporte.
La distancia entre el punto origen y extremo corresponde con su módulo. A mayor distancia entre ellos, el módulo será mayor.
La punta de la flecha determina su sentido, dentro de los dos posibles que se podría dibujar siguiendo su dirección, es decir hacia un lado de la recta o hacia el otro.

Experimenta y Aprende

-10

-15

-5

-10

Origen

Extremo

a⃗

Datos

∣∣a⃗ ∣∣=a= 12.81

Representación de un vector

Desliza los puntos origen y extremos del vector

a⃗ y comprueba como puedes cambiar su módulo, su dirección y su sentido.

Observa que al acercar los puntos origen y extremo el módulo del vector, que se expresa como

|a⃗ |, disminuye. ¿Qué ocurre si los alejas?.

NOTA. Los puntos discontinuos no se suelen dibujar, los representamos aquí para que puedas ver más clara la dirección del vector.

Representación Analítica

Todo vector se puede expresar como la suma de otros vectores que sirven de patrón o referencia. Estos vectores reciben el nombre de vectores unitarios ya que su módulo vale 1 (módulo unitario). En concreto se emplean:

i⃗ o ux−→es un vector unitario en la dirección del eje X
j⃗ o uy→es un vector unitario en la dirección del eje Y

Como se muestra en el ejemplo anterior, hemos obtenido una forma de representar analíticamente un vector a partir de su gráfica. A continuación, puedes encontrar otras formas de representación posibles. De esta forma, un vector

a⃗ con origen en el punto A = (Ax,Ay) y extremo en el punto B = (Bx,By) se puede representar analíticamente de la siguientes formas:

	a⃗ = ax ⋅ i⃗ +ay ⋅ j⃗	donde axy ay reciben el nombre de componentes cartesianas del vector y se calculan de la siguiente forma: ax=Bx−Ax ay=By−Ay

	a⃗ = ax ⋅ ux−→+ay ⋅ uy→
	a⃗ = (ax,ay)

Módulo de un Vector

Las coordenadas cartesianas (ax y ay) son muy importantes, ya que a partir de ellas es posible calcular el módulo y dirección del vector. Este último, teniendo en cuenta el ángulo

αformado entre el vector y el semieje X positivo (o por el ángulo

βformado entre el vector y el semieje Y negativo).

Si aplicamos el teorema de pitágoras, podemos deducir que

|a⃗ |=a=ax2+ay2−−−−−−−−√

Además, si aplicamos las definiciones del seno y del coseno, podemos obtener otra forma de calcular las componentes cartesianas.

ax= a ⋅ cos(α) = a ⋅ sin(β)

ay= a ⋅ sin(α) = a ⋅ cos(β)

Ejemplo

Dado el siguiente vector:

a⃗ = 5 ⋅ i⃗ + 4 ⋅ j⃗

Represéntalo gráficamente.

Solución

Identificación del problema

Para representar el vector que se nos proporciona, una posible solucion es determinar su punto origen y su punto extremo, para luego dibujarlo en un eje de coordenadas.

Como en el ejercicio no se nos proporciona el punto de aplicación, nosotros en este caso, podemos ubicar dicho punto donde queramos. Por simplicidad, lo haremos en el origen de coordenadas (0,0) que llamaremo O.
A continuación calcularemos el punto extremo del vector a y que llamaremos E.

Datos Iniciales

a⃗ = 5 ⋅ i⃗ + 4 ⋅ j⃗

Punto de origen O(0,0)

Desarrollo de la solución

Dado que la ecuación de un vector es de la forma

a⃗ = ax ⋅ i⃗ +ay ⋅ j⃗

podemos ver claramente que las componentes cartesianas del vector a son ax = 5 y ay = 4. Si aplicamos la fórmula para calcularlas:

ax=Bx−Ax

ay=By−Ay

y despejamos Ex y Ey y sustituimos el resto de valores:

Ex=ax+Ox ⇒ Ex = 5 + 0 ⇒Ex= 5Ey=ay+Oy ⇒ Ey = 4 + 0 ⇒Ey= 4E = (Ex, Ey) ⇒ E = (5,4)

por lo tanto tenemos que el vector a tiene como punto de origen O(0,0) y como punto de extremo E(5,4). Ya solo queda representarlo en el eje de coordenadas.

Solución